Proofs: A Long-Form Mathematics Textbook: เริ่มเขียนบทพิสูจน์แบบเข้าใจที่มา

ขอบเขตของบทความ: สรุปจากสารบัญและหน้าตัวอย่างแบบสแกนที่ผู้เขียนเผยแพร่ให้อ่านตัวอย่างบนเว็บไซต์ของตัวเอง รวมกับข้อมูลจากหน้าหนังสือและแคตตาล็อก หน้าตัวอย่างเป็นหน้าที่คัดมาจากหลายส่วนของเล่ม ยังไม่ได้อ่านบทใดครบทั้งบท

คนที่จะเรียนต่อสาย quant หรือ data science มักเจอคณิตศาสตร์สองแบบ แบบแรกคือการคำนวณที่คุ้นมาตั้งแต่ ม.ปลาย แบบที่สองคือการอ่านและเขียนบทพิสูจน์ ซึ่งเป็นภาษาของตำรา real analysis, probability theory หรือ stochastic calculus หลายคนติดตรงรอยต่อนี้ เพราะไม่เคยฝึกคิดแบบ "ทำไมจึงจริง" มาก่อน

Proofs: A Long-Form Mathematics Textbook เขียนเพื่อรอยต่อนั้น บทความนี้ดูว่าเล่มนี้สอนอะไร เขียนแบบไหน และเหมาะกับใคร

หนังสือเล่มนี้ว่าด้วยอะไร

Proofs: A Long-Form Mathematics Textbook เขียนโดย Jay Cummings ตีพิมพ์เองแบบ independently published ในปี 2021 ความยาว 511 หน้า ISBN 9798595265973 ตามระเบียนของ Open Library

หน้าหนังสือบนเว็บไซต์ของผู้เขียน บอกว่าเป็นเล่มที่สองในชุด long-form textbooks แนวทางคือใส่คำอธิบาย แรงจูงใจ และความเห็นมากกว่ารูปแบบนิยาม–ทฤษฎีบท–บทพิสูจน์ที่วนซ้ำในตำราทั่วไป บทพิสูจน์จำนวนมากมี scratch work นำหน้า ท้ายแต่ละบทมีแบบฝึกหัด ปัญหาเปิด และ pro-tips และมีคำใบ้กับเฉลยบทละสิบข้อ หน้าเว็บยังมีลิงก์ไปหน้าคำใบ้และเฉลย หน้า errata และช่อง YouTube ที่ผู้เขียนบรรยายเนื้อหาในเล่ม

เนื้อหาครอบคลุมหัวข้ออะไร

สารบัญมีเก้าบท แต่ละบทตามด้วยบทแนะนำสาขาคณิตศาสตร์ขั้นสูงหนึ่งสาขา (สารบัญ):

ภาคผนวก A ว่าด้วยวิธีพิสูจน์อื่น ได้แก่ probabilistic method, linear algebra method, combinatorial method, computer-assisted proofs และ proofs by picture ภาคผนวก B เป็นชุดบทพิสูจน์ที่สวยงาม และภาคผนวก C เป็นคำแนะนำการเขียนบทพิสูจน์และการเขียนด้วย LaTeX

แนวคิดที่น่าสนใจจากหน้าตัวอย่าง

หน้าตัวอย่างแบบสแกน (ตัวอย่าง PDF) มีหน้าจากบทที่ 1 เป็นหลัก และมีหน้าเปิดของภาคผนวก A และ B

• สามระยะของการเรียนคณิตศาสตร์ บทที่ 1 เปิดด้วยการแบ่งเป็นระยะ "ทำอย่างไร" "ทำไมจึงได้ผล" และ "จะสำรวจอะไรต่อ" ผู้เขียนเรียกหนังสือเล่มนี้ว่าประตูสู่ระยะที่สอง

• บทพิสูจน์แรกเป็นภาพ ตัวอย่างกระดานหมากรุกที่ตัดมุมสองช่องออกแล้วถามว่าวางโดมิโน 31 ตัวคลุมได้หรือไม่ คำตอบมาจากการนับช่องขาวกับช่องดำ ผู้เขียนเตือนว่าบทพิสูจน์ควรสมบูรณ์แม้ไม่มีภาพ ภาพมีไว้ประกอบคำอธิบายเท่านั้น

• ทำไมต้องพิสูจน์ ตัวอย่างจุดบนวงกลมที่จำนวนบริเวณดูเหมือนเพิ่มเป็นสองเท่า $1, 2, 4, 8, 16$ แต่ที่ $n = 6$ ได้ 31 บริเวณ ไม่ใช่ 32 จึงเป็น counterexample ของการคาดเดา $2^{n-1}$ ผู้เขียนยังเปรียบบทพิสูจน์กับโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ต้องทั้งทำงานถูกและโน้มน้าวผู้อ่านได้

• scratch work ก่อนบทพิสูจน์จริง เช่นโจทย์ pigeonhole ที่สุ่มจุดสิบจุดในสี่เหลี่ยม $3 \times 3$ ผู้เขียนคิดออกเสียงก่อนว่าควรแบ่งเป็นเก้ากล่องขนาด $1 \times 1$ แล้วจึงเขียนบทพิสูจน์

• น้ำเสียงเป็นกันเอง เชิงอรรถมีมุกตลกบ่อย ซึ่งตรงกับที่หน้าหนังสือบอกว่าเขียนแบบสบาย ๆ

พื้นฐานที่ควรมีก่อนอ่าน

ตัวอย่างในบทที่ 1 อ้างถึงแคลคูลัส สูตรกำลังสอง และพีชคณิตระดับมัธยม โดยบอกว่าวิชาก่อนหน้าของผู้อ่านเน้นการคำนวณ จึงดูเหมือนผู้อ่านเป้าหมายเป็นนักศึกษาที่เรียนแคลคูลัสมาแล้ว ภาคผนวก A บางหัวข้อใช้ linear algebra ซึ่งผู้เขียนบอกว่าผู้อ่านส่วนใหญ่น่าจะเคยเรียน ข้อนี้เป็นการอนุมานของบทความจากหน้าที่อ่าน

เหมาะกับใคร และใครควรเริ่มจากเล่มอื่นก่อน

• เหมาะ กับคนที่เรียนแคลคูลัสมาแล้ว และกำลังจะเข้าวิชาที่ต้องอ่านหรือเขียนบทพิสูจน์ เช่น real analysis หรือ probability theory

• เหมาะ กับคนเรียนด้วยตัวเอง เพราะคำอธิบายยาว มี scratch work และมีคำใบ้กับเฉลยบางข้อบนเว็บไซต์

• อาจไม่ตรงความต้องการ ถ้าต้องการตำราที่กระชับหรือเนื้อหาที่ใช้กับการเงินโดยตรง หนังสือเป็นตำราคณิตศาสตร์ทั่วไป ไม่มีตัวอย่างการเงินในหน้าที่อ่าน

ข้อจำกัดของข้อมูลที่ใช้ในบทความนี้

• อ่านสารบัญทั้งหมด แต่หน้าตัวอย่างเป็นหน้าที่คัดมา 38 หน้า บทความนี้อ่านหน้า 1, 8, 10–12, 19, หน้า 394 และหน้าเปิดของภาคผนวก A และ B ไม่ได้อ่านทุกหน้าในไฟล์ตัวอย่าง

• หน้าหนังสือบนเว็บไซต์มีข้อความประวัติผู้เขียนบางส่วนที่ดูเหมือนเป็นของหนังสือ real analysis อีกเล่มของผู้เขียน บทความนี้จึงไม่ได้ใช้ส่วนนั้น

• ไม่ได้ทำแบบฝึกหัดหรือตรวจเฉลย

แหล่งอ้างอิง

• Proofs: A Long-Form Mathematics Textbook · Jay Cummings · หน้าหนังสือบนเว็บไซต์ผู้เขียน

• Contents (PDF) · Jay Cummings · สารบัญ

• Scanned sample (PDF) · Jay Cummings · หน้าตัวอย่างแบบสแกน

• Open Library: 9798595265973 · Internet Archive · ข้อมูลฉบับ ปี และจำนวนหน้า